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Algebre lineal


Elaborado por:

Karina Martínez López

Ojeda Diego Gerardo

Velázquez Rodríguez Ramsés

Villalva Ortiz Gerardo



external image C:%5CWindows%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image007.jpg Asesor:

García Nieva Jorge



Grupo: 4I11



Turno: matutino

Álgebra lineal

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Roan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Herman Grossman publicó su libro Die linéale Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).

Introducción.


El presente trabajo es elaborado por alumnos del Tecnologico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de Mexico, daremos a conocer parte de la historia del algebra lineal y nos enfocaremos en los hechos matemáticos que han logrado crear la fabulosa algebra lineal.

Desde tiempos remotos, y como parte esencial de su propio desarrollo evolutiva el hombre ha procurado entender los diferentes aspectos que forman parte de su vida cotidiana. Para ello ha procurado disponer de herramientas que le permitan no solo poder cazar y recolectar con mayor e ciencia, sino tanbien poder medir longitudes, ordenar y contar objetos, o reconocer fenómenos periódicos de la naturaleza. Como parte de este proceso de elaboración, el hombre ha construido modelos que le han facilitado la tarea de resolver problemas concretos o que le han ayudado a encontrar una solución al problema especifico que lo afecta. Todo esto con el propósito de favorecer tanto su forma de vida como la de los miembros de su comunidad. Muchos de estos poblémas tienen un carácter lineal, es decir, pueden plantearse mediante algunas
ecuaciones lineales con crecientes en algún campo de números y con unas pocas variables o incógnitas. Recordemos que la palabra ecuación proviene del latin “aequatio” que sínica igualdad. Una ecuación es una igualdad que contiene algunas cantidades desconocidas. En particular, una ecuación lineal s una ecuación de la forma:


a1x1 + a2x2 + ¢ ¢ ¢ + anxn = b (1)
donde :
a1; a2; : : : ; han son los crecientes, x1; x2; : : : ; xn las variables o incognitas y b el termino constante.



Problemas tan amplios como la distribución de cosechas o el presupuesto de un pais, el calculo de la orbita de un asteroide (o de un planeta) y el calculo de la estabilidad estructural de un edición en ingenieria civil, entre muchos otros, pueden plantearse en términos de sistemas de ecuaciones lineales para obtener su solución.
El presente trabajo ha sido dividido atendiendo a criterios temáticos más que cronológicos, brindándole un mayor valor a las ideas que a las fechas.
Los sistemas de ecuaciones lineales de la mano de matemáticos babilonios y chinos. Se incluyen algunas notas sucintas sobre la aparición del sistema de los números complejos con Cardano y las distintas demostraciones del teorema fundamental del algebra por parte de D'Alembert, Euler, Frontenex, Lagrange y Gauss. En la sección 3 se tratan los inicios de las noción de vector y espacio
vectorial. La sección 4 incluye las fuentes del algebra de matrices, destacando los aportes de Cayley, Sylvester, Hamilton y Cauchy, entre otros. La historia del algebra lineal hasta los Albores del Siglo XX se tratan los origenes de la noción de determinante de una matriz cuadrada desde Leibniz en Europa y Seki en Japon, pasando por Maclaurin, Cramer,Biezout, Gauss, Cauchy, Jacobi y Sarrus, entre otros, hasta llegar a su actual presentación axiomática debida al genio de Kronecker y Weierstrass.




Antecedentes del algebra lineal

Álgebra:
, rama de las matemáticas en la que se usan letras par representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2.

El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

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El Origen del Álgebra.
Los babilonios desarrollaron técnicas y métodos para medir y contar, impulsados en parte por la necesidad de resolver problemas prácticos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo de las técnicas cartográficas. Entre las tablillas babilónicas descubiertas se han encontrado ejemplos de tablas de raíces cuadradas y cúbicas, y el enunciado y solución de varios problemas puramente algebraicos, entre ellos algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como una ecuación cuadrática. Un examen cuidadoso de las tablillas babilónicas muestra claramente que mediante esos cálculos sus autores no sólo intentaban resolver problemas del mundo real, sino otros más abstractos y artificiales, y que lo hacían para desarrollar técnicas de solución y ejercitarse en su aplicación.
Fueron los árabes quienes le dieron a la nueva ciencia de plantear y resolver ecuaciones un nombre: aljabr. La nueva civilización que surgió en la península arábiga en la primera mitad del siglo VII, habría de transformar muy pronto la vida de gran parte del mundo habitado de entonces. Menos de un siglo después de la captura de La Meca por Mahoma en el año 630 d.C., el ejército islámico había convertido a las tribus politeístas dcl Medio Oriente y usurpado al imperio bizantino los territorios de Siria y Egipto. La conquista de Persia se completó hacia el año 641 d.C. Los sucesores de Mahoma, los califas, primero establecieron su capital en Damasco pero, tras cien años de guerras, el califato se dividió en varias partes.
La fundación en 766 d.C. por parte del califa al — Mansur de Bagdad como la nueva capital de su califato, significó cl comienzo de una etapa más tolerante del islamismo y permitió el desarrollo intelectual de sus habitantes. Su sucesor, el califa Harun al — Rashid, quien gobernó entre 786 y 809, estableció en Bagdad una biblioteca en la que se reunieron manuscritos provenientes de varias academias del Cercano Oriente, algunas de las cuales habían sido establecidas por miembros de las antiguas academias de Atenas y Alejandría que tuvieron que cerrarse a raíz de la persecución de los romanos. Un programa de tradt4cciones al árabe de textos clásicos de la matemática y ciencia de los griegos y los hindúes era una de las actividades del Bayal al—Iliktna (Casa dc la sabiduría), un instituto de investigaciones que fundara cl califa al — Ma' mun y que funcionó durante más de 200 años.
Muhammmad ibn Musa al — Khwarizmi, un miembro del Bayal al—Hikma fue el autor de varios tratados sobre astronomía y matemáticas, entre ellos uno dc los primeros tratados islámicos acerca del álgebra. Fue gracias a la traducción al latín de su libro acerca del sistema de numeración hindú, Algorithmi de numero indorum, que Europa Occidental conoció ese nove~k~so sistema de numeración. Su obra más importante, sin embargo, fue su tratado de álgcbra quc, con el título Ílisab al—/abra wal— muqabala (La ciencia de la reducción y confrontación) probablemente significaba la ciencia de las ecuacionts.
El Álgebra de Muhammad contiene instrucciones prácticas para resolver ciertas ecuaciones lineales y cuadráticas. “Lo que la gente quiere, dice el autor, cuando realiza sus cálculo.., es un número”. Ese número no es más que la solución de una ecuación.
Otro importante algebrista árabe fue Omar Khayyam (1048—1131), mejor conocido en Occidente por su Rubaiyat, una colección de unos 600 poemas. Fue él el primero en hacer una clasificación sistemática de la ecuaciones cúbicas y resolver algunas de ellas.
La contribución de los algebristas islámicos de los siglos Xl y XII en el desarrollo del álgebra habría sido más notoria si no hubiera tardado tanto en ejercer su influencia en Europa, donde, un poco después, el álgebra habría de consolidarse definitivamente.

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Historia del Álgebra.
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-abr que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y,z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.
A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.
Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (véase Número (matemáticas): Números complejos).
En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.

Después del descubrimiento de Hamilton, el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.

Génesis de los números complejos y rices de polinomios



Dos eventos cruciales en el desarrollo del algebra lineal son: el descubrimiento del sistema de los números complejos, como una extensión del sistema R formado por los números reales, junto con las operaciones usuales de suma y multiplicación, y la primera prueba del llamado teorema fundamental del algebra, el cual arma que cada polinomio no constante con cocientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Es bien conocido que este teorema es equivalente a que cada polinomio no constante con coecientes reales puede ser factorizado en un producto de factores lineales y cuadráticos. Sobre este último resultado, el plural genio de Gauss le brindaría tal importancia que llegaría a ofrecer hasta cuatro demostraciones, siendo la primera de estas su tesis doctoral de 1799, aunque se sabe que el conocía la prueba desde octubre de 1797. La segunda y tercera prueba fueron publicadas en 1816 y la cuarta en 1849.

Según B.L. Van Der Waerden el precursor de los números complejos fue el doctor en medicina, astrologo, filosofo y matemático milanés Girolamo Cardano (1501-1576), por ser este el primero en considerar expresiones de la forma a+p¡b con a; b 2 R. En un contexto históricamente referido como pugnas entre Niccolµo Tartaglia (1499-1557) y Cardano por la prioridad, y consecuente autoría, en la solución de la ecuación de tercer grado x3 + px = q con p; q 2 R; surge una solución de Cardano, la cual le había sido sugerida por Tartaglia tal como el propio Cardano lo reconociera en su libro Ars Magna publicado en 1545 Esta solución involucra la raíz cuadrada de la expresión ( 13 q)2 ¡ ( 1 3p)2, la cual puede ser negativa. Estos casos son llamados casus irreducibilis por Cardano y en su Ars Magna muestra un método para obtener las soluciones de la ecuación (2). Así, los casus irreducibilis de Cardano son los números imaginarios de nuestros días y dieron origen a un nuevo sistema de números que extiende el de los números reales.

Para ilustrar el impacto de esta novedosa idea, Cardano en el Capítulo 37 de su Ars Magna plantea el siguiente problema: \Dividir 10 en dos partes tales que su producto sea igual a 40." Al respecto, el escribió:

\Es claro que este caso es imposible. No obstante, nosotros trabajamos así: dividimos 10 en dos partes iguales, haciendo cada una de 5. Estas las elevamos al cuadrado, para formar 25. Sustraer 40 de los 25 así producidos, tal como se prueba en el capítulo sobre operaciones en el libro sexto, dejando un resto de -15, la raíz cuadrada del cual sumada a o sustraída de 5 da las partes del producto el cual es 40. Estas serán 5 + 15 y 5 ¡ p¡15." Acto seguido, Cardano verifica que estos dos números satisfacen las condiciones requeridas. El problema de hallar las raíces de un polinomio con cocientes reales ocupo gran parte de la atención de los matemáticos desde los árabes en la antigüedad, quienes usaron métodos aritmetico-geometricos, pasando por los griegos (especialmente los pitagóricos y euclidianos) y sus razonamientos geométricos hasta llegar al siglo XVIII de nuestra era con la solución general de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, la imposibilidad de resolver la ecuación de quinto grado usando radicales (como en el caso de sus predecesores) y la demostración del teorema fundamental del algebra. Recordemos que el descubrimiento del numero p2 fue tratado con suma cautela por los pitagóricos, por razones de tipo místico, debido a que este no es un numero racional (i.e., una razón entre dos números enteros) y a pesar de ser una solución de la ecuación x2 = 12 + 12 = 2 que representa, según el conocido teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa del triangulo rectángulo con catetos iguales y de longitud.

Las soluciones de las ecuaciones de tercer y cuarto grado fueron obtenidas por matemáticos italianos del siglo XVI, a saber: Scipione del Ferro (1465-1526), Tartaglia y Cardano para la ecuación de tercer grado y Ludovico Ferrari (1522-1565), amigo y secretario de Cardano, para la ecuación de cuarto grado. Asimismo, la solución de las ecuaciones de quinto grado fue lograda por Charles Hermite (1822-1901) y Leopold Kronecker (1823-1891) a mediados del siglo XIX. Por otra parte, la imposibilidad de resolver por radicales las ecuaciones de grado mayor o igual a 5 se conoce como el teorema de Abel en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829), cuyo período vital, a pesar de su brevedad, dejo honda huella en la Matemática. Sobre el teorema fundamental del algebra, antes de la disertación doctoral de Gauss en 1799, ya se conocían otras cuatro pruebas de este importante resultado, dadas por: Jean Le Rond D'Alembert (1717-1783), Leonhard Euler (1707-1783), Frontenex y Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Sin embargo, en cada una de estas pruebas se asume la existencia de raíces del polinomio dado en algún sentido y luego se prueba que estas son números complejos. Esta es la principal objeción que planteo Gauss a estas demostraciones, entre algunas otras. Algunos detalles sobre las primeras tres pruebas dadas por Gauss al teorema fundamental del algebra aparecen en.


Lenguaje de vectores



El algebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, tal como señalamos, y más recientemente, con los sistemas de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. En ambos contextos subyacen los importantes conceptos de vector y espacio vectorial. A finales del siglo XVII fueron redescubiertas y desarrolladas las ideas originales de los babilonios, y principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal. Recordemos que hasta el siglo XVIII el algebra era, esencialmente, el arte de resolver ecuaciones de grado arbitrario. El matemático y filosofo francés, y uno de los iniciadores de la Enciclopedia, D'Alembert descubre que las soluciones de un sistema Ax = b forman una variedad lineal. Asimismo, Euler, Lagrange y el propio D'Alembert se dan cuenta que la solución general del sistema homogéneo Ax = 0 es una combinación lineal de algunas soluciones particulares. En 1843, el matemático irlandés Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) 160 Deivi Luzardo, Alirio J. Peña P. descubre los Quaternions como el primer y único anillo de división no conmutativo sobre los números reales, la unicidad fue probada por Georg Frobenius (1849-1917) en 1879. Años antes, en 1863, Karl Weierstrass (1815-1897) había probado que el cuerpo de los números complejos es el único cuerpo conmutativo sobre los números reales. En esa época aparecen con Hamilton, Arthur Cayley (1821-1895) y Hermann GÄunther Grassmann (1809-1877) las nociones de vector y de espacio vectorial, como una axiomatización de la idea de \vector" manejada por los estudiosos de la Mecánica desde fines del siglo XVII, un hecho que represento la génesis del Calculo vectorial y de la Matemática moderna. Ademas, considerado el maestro del algebra lineal, Grassmann introduce el producto geométrico y lineal, siendo el primero de estos equivalente a nuestro producto vectorial. Asimismo, introduce las nociones de independencia lineal de un conjunto de vectores, así como el de dimensión de un espacio vectorial, y prueba la clásica identidad:

dim(U +W) = dim(U) + dim(W) ¡ dim(U \W) para cada par de subespecies U y W de un espacio vectorial.



Algebra de matrices



El primero en usar el término \matriz" fue el matemático ingles James Joseph Sylvester (1814-1897) en 1850, quien definió una matriz como un \oblong arrangement of terms" (arreglo cuadrilongo de términos). A su regreso a Inglaterra en 1851, luego de un período migratorio en América, Sylvester establece contacto con Cayley, un joven abogado quien compartía su interés por la Matemática y que pronto se dedicaría exclusivamente a ella. Cayley rápidamente entendería la importancia del concepto de matriz y por el año de 1853 publica una nota en donde aparece por vez primera la inversa de una matriz. Más tarde, en 1858, publica su Memoir on the theory of matrices, la cual contiene la primera definición abstracta de matriz y donde se muestra que los arreglos de coeficientes estudiados anteriormente para las formas cuadráticas y las transformaciones lineales son casos especiales de este concepto general. Asimismo, Cayley desarrolla el algebra matricial definiendo las operaciones básicas de suma, multiplicación y multiplicación por escalares, así como la inversa de una matriz invertible, junto con una construcción de la inversa de una matriz invertible en términos de su determinante y prueba que, en el caso de matrices 2 £ 2, una matriz satisface su propia ecuación característica. Ademas, señala que tiene chequeado este resultado para matrices, indicando su demostración, pero afirma: \I have not thought it necessary to undertake the labour of a formal proof of the theorem in the general case of a matrix of any degree". En 1870, el matemático francés Camille Jordán (1838-1922) publica su Traite des substitutions et des equations algebriques, en donde estudia una forma canonica para sustituciones lineales sobre cuerpos finitos de orden primo. En este contexto aparece por vez primera lo que hoy conocemos como la forma canonica de Jordán. Una presentación clásica de este importante resultado sobre un cuerpo arbitrario. Arthur Cayley es considerado como el fundador de la teoría de matrices, aunque históricamente fueron los matemáticos chinos los pioneros en esta materia y el término matriz es debido a Sylvester. Uno de los principales meritos de Cayley fue la introducción de las operaciones básicas de suma y multiplicación de matrices, aunque indicios de estas ya aparecen en trabajos anteriores de Euler, Lagrange y Gauss. Cayley probo además que la multiplicación de matrices es asociativa e introduce las potencias de una matriz, así como las matrices simétricas y anti simétricas. Por tanto, siendo él a la Historia de la Matemática, Cayley merece ser considerado como el fundador del algebra de matrices.



Los orígenes del determinante


Cardano en su Ars Magna, muestra una regla para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, a la cual llama regula de modo y que, esencialmente, es la conocida regla de Cramer para resolver sistemas lineales
2 £ 2. Sin embargo, a pesar de que Cardano no ofrece una definición formal del determinante, y con la ventaja del tiempo a su favor, en su método se
Pueden apreciar las primeras luces en esta dirección.
Tal como se apunto antes, los inicios de la teoría de determinantes de Matrices datan del siglo II a.C. con los matemáticos chinos. La idea de de-
Terminante aparecióo en Japón y Europa casi al mismo tiempo. En Japón, fueTakakasu Seki Kowa (1642-1708) el primero en publicar un trabajo sobre es-
te tema. En efecto, en 1683, Seki escribió un manuscrito titulado Método deresolver los problemas disimulados, en el cual se incluyen algunos métodos
matriciales expuestos en forma de tablas, al mas puro estilo de los matematicos chinos de esa época. Sin contar con un termino que corresponda a la idea
de determinante, Seki introduce los determinantes y ofrece métodos generalesDivulgaciones Matemáticas Vol. 14 No. 2(2006), pp. 153{170
162 Deivi Luzardo, Alirio J. Pe~na P. para calcularlos basados en ejemplos concretos, siendo capaz de calcular el determinante de matrices cuadradas de hasta orden 5.
La aparición de la noción de determinante en Europa fue durante ese mismo ano de 1683, en una carta de Leibniz a Guillaume de l`H^opital (1661-1704)
en donde le explica que cierto sistema de ecuaciones lineales tiene solución. Leibniz uso la palabra \resultante" para ciertas sumas combinatorias de términos
nos de un determinante y probo varios resultados sobre estos resultantes, incluyendo uno que, en esencia, es la conocida regla de Cramer. Leibniz también
conocía que un determinante se puede expandir usando columnas, lo que hoy se conoce como la expansión de Laplace, y estudio los sistemas de cocientes de ecuaciones, principalmente aquellos ligados a las formas cuadráticas en donde uso los determinantes.
En los años de 1730, Colin Maclaurin (1698-1746) escribió su Tratado de algebra, el cual fue publicado en 1748, dos años despues de su muerte. En
este trabajo aparecen los primeros resultados sobre determinantes, se prueba la regla de Cramer para sistemas pequeños 2 £ 2 y 3 £ 3, y se indica como
deducir el caso 4 £ 4. El propio Gabriel Cramer (1704-1752) anuncio la regla general para sistemas n £ n en su Introduction a l'analyse des lignes courbes
algebriques, publicado en 1750 ([12]). Sin embargo, esta solo aparece enunciada en un Apéndice y sin ofrecer prueba alguna de este hecho, conformándose
el autor con señalar: \Uno da el valor de cada incógnita formando n fracciones de las cuales el común denominador tiene tantos términos como existan
permutaciones de n cosas".
Mas adelante, en 1764, Etienne Bezout (1730-1783) muestra nuevos meto dos para calcular determinantes, así como también Alexandre-Theophile Van-
dermonde (1735-1796) en 1771 ([37]). Al respecto, en 1772, Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) lanza una fuerte crítica a los métodos de Cramer y Bezout
señalándolos de ser imprácticos y en un articulo en el que estudia las orbitas de los planetas, describe un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales sin necesidad de calcularlos explícitamente. Además, sorprende Laplace al usar el termino \resultante" para señalar lo que conocemos como determinante, pues, como apuntamos antes, este es el mismo termino usado por Leibniz y, según algunos historiadores, Laplace debió desconocer los trabajos de Leibniz.
Por su parte, Joseph-Louis LaGrange (1736-1813), en un articulo sobre Mecánica publicado de 1773, estudia identidades para determinantes funcionales 3£3. En este trabajo aparece por primera vez la interpretación del determinante como un volumen. En efecto, se prueba que el tetraedro formado por
Divulgaciones Matemáticas Vol. 14 No. 2(2006), pp. 153{170Historia del Algebra Lineal hasta los Albores del Siglo XX 163
el origen O (0; 0; 0) y los tres puntos M(x; y; z), M1(x1; y1; z1) y M2(x2; y2; z2)
tiene volumen: 1
representa el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores

El termino \determinante" fue usado por vez primera por Gauss en sus Disquisitiones arithmeticae publicadas en 1801, en las cuales estudia las formas cuadráticas. Gauss uso este termino pues este \determina" completamente las propiedades de la forma cuadrática. Sin embargo, el concepto de
determinante dado por Gauss no es el mismo que hoy conocemos. En este trabajo, Gauss considera los coeficientes de sus formas cuadráticas en arre-
glos rectangulares y describe la multiplicación matricial (la cual considera solo como una composición, y no señala el concepto de algebra matricial), así como
la inversa de una matriz en el contexto de los arreglos de coeficientes de formas cuadráticas. En 1815, Gauss publica su memoria sobre determinantes
([17]). Años antes, en 1812, Cauchy introduce el termino \determinante" en el sentido moderno ([9]). Este trabajo de Cauchy es el mas completo de la
época sobre determinantes, en donde no solo se prueban algunos resultados bien conocidos, sino también otras nuevas propiedades sobre menores y ad-
juntos. Asimismo, se prueba por primera vez el teorema de la multiplicación para determinantes, det(AB) = det(A) det(B). Cauchy también probo que los
valores propios de una matriz simétrica con entradas complejas son números reales e introduce la ecuación característica de una matriz cuadrada ([9]). Un
hecho por demás curioso es que durante una reunión celebrada en el Instituto de Francia, Binet lee un articulo en el cual se incluye también una prueba del
teorema de la multiplicación, aunque esta ultima es menos satisfactoria que la dada por Cauchy.
Por otra parte, Cauchy en 1826 y en el contexto de las formas cuadráticas en n variables, uso el termino \tabla" (\tableau") para la matriz de coecientes, introdujo los valores propios de este tipo de matrices y probo algunos resultados sobre diagonalizacion de una matriz con el propósito de convertir
una forma cuadrática en una suma de cuadrados. También, Cauchy introduce la idea de matrices similares (pero no así el termino) y prueba que si dos matrices son similares, entonces estas tienen la misma ecuación característica, lo Divulgaciones Matemáticas Vol. 14 No. 2(2006), pp. 153{170
164 Deivi Luzardo, Alirio J. Pe~na P. cual había sido probado anteriormente por Hamilton durante el desarrollo de
su teoría de cuaterniones. Asimismo, y de nuevo en el contexto de las formas cuadráticas, Cauchy prueba que cada matriz real simétrica es diagonalizable.
Jacques Sturm (1803-1855) día una generalización del problema de los valores propios en el contexto de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. En efecto, el concepto de un valor propio aparece 80 años después, también en trabajos sobre sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, en
contribuciones de D'Alembert sobre el movimiento de una cuerda con masas atadas a esta en varios puntos.
Puede armarse que ni Cauchy ni Sturm tuvieron una visión del generealidad de sus ideas. Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) alrededor de 1830
y mas tarde Kronecker y Weierstrass durante los años 1850 y 1860, también trabajaron con matrices, pero, de nuevo, solo en casos especiales, y la noción
de transformación lineal que comenzaba a surguir para la época. En 1841, Jacobi publico tres tratados sobre determinantes ([24]), los cuales alcanzaron singular importancia, pues en ellos aparecen por vez primera una dedición algorítmica del determinante y con la novedad de que las entradas en el determinante no sean especiadas, con lo cual sus resultados son igualmente aplicables tanto al caso en que las entradas eran números como cuando
estas sean funciones.
En 1841, Cay ley publico la primera contribución en idioma Ingles de la teoría de determinantes ([10]). En este artículo se usan dos líneas verticales
sobre ambos lados del arreglo de los coeficientes de la matriz para denotar el determinante, una costumbre que se conserva hasta hoy. Cayley también
probo que una matriz cuadrada A es invertible si y solo si det(A) 6= 0. La definición axiomática del determinante que hoy conocemos como la
(única) función matrilineal alternada y que toma el valor 1 en la matriz identidad se debe a Kronecker y Weierstrass. Las conferencias de Weiertrass fueron
publicadas después de su muerte en 1903 en la nota Sobre la teoría de determinantes ([40]). En ese mismo a~no, las conferencias de Kronecker sobre determinantes fueron publicadas, también como obra póstuma, y donde se introduce
el producto tensorial de espacios vectoriales. Con estas dos contribuciones la teoría moderna de determinantes comenzó a ocupar un lugar preponderante
en la teoría de matrices. Uno de los primeros libros publicados en el siglo XX en donde se trata a las matrices por su propio interés es Introduction tú higher
algebra, escrito por B^ocher en 1907. Asimismo, Turnbull y Airen escribieron Divulgaciones Matemáticas Vol. 14 No. 2(2006), pp. 153{170
Historia del Algebra Lineal hasta los Albores del Siglo XX 165 influyentes libros sobre esta materia durante los años 1930, mientras que Sir
Thomas Muir (1844-1934) nos lego una descripción general de la historia de la teoría de determinantes, desde su descubrimiento por Seki y Leibniz en 1683
hasta 1920.
No podemos olvidar los aportes de Silvestre a la teori³a de determinantes. Sylvester introdujo gran parte del lenguaje moderno del algebra lineal y probó la llamada Ley de inercia, aunque esta ya había sido descubierta por Jacobi. A Sylvester se debe el término matriz, como hemos mencionado,
así como los primeros progresos de la teoría de auto valores de un operador lineal. En particular, Sylvester probó que los valores propios del operador lineal
Tn son las potencias n-esimas de los valores propios de T. En los cimientos del algebra lineal también destacan las contribuciones de Henrich Sherz, quien
demostro algunas de las propiedades básicas de los determinantes, tales como la linealidad en cada columna:
Otro aporte de Sylvester a la teoría de matrices es el concepto de nulidad de una matriz cuadrada A, denotada por n(A), introducido en 1884, como el mayor numero entero positivo i tal que cada menor de A de orden n ¡ i + 1 es cero, y probo que
maxfn(A); n(B)g · n(AB) · n(A) + n(B):
El norte de las investigaciones de Sylvester, junto con Cayley y Charles Hermite (1822-1901), siempre estuvo dirigido hacia la búsqueda de invariantes de
matrices, es decir, propiedades que no cambian bajo ciertas transformaciones, siendo la nulidad uno de estos invariantes.

Teorema de Cayley-Hamilton


El que cada matriz cuadrada con entradas en un cuerpo (conmutativo) arbitra rio K satisface su propia ecuación característica, introducida por Cauchy como
antes mencionamos, se conoce hoy día como el teorema de Cay ley-Hamilton, es decir, si A es una tal matriz cuadrada, I es la matriz identidad de igual
Divulgaciones Matemáticas Vol. 14 No. 2(2006), pp. 153{170 166 Deivi Luzardo, Alirio J. Pe~na P. orden que A (y con entradas en K) y p(x) = det(xI ¡ A) 2 K[x] (llamado el polinomio característico de A en K[x]), entonces p(A) = 0. Este teorema de Cayley-Hamilton es un resultado medular para la teoría de matrices y fue probado originalmente por Cayley para matrices 2£2, como mencionamos antes, y posteriormente por Hamilton para matrices 3 £ 3. En 1878, Frobenius publica una de las mas valiosas contribuciones a la teoría de matrices titulada Sobre sustituciones lineales y formas bilineales, enla cual trabaja con coeficientes de formas cuadráticas sin usar el termino matriz ([15]). Sin embargo, prueba importantes resultados sobre matrices canonícas como representantes de clases de equivalencia de matrices y cita a Kronecker y Weiertrass por haber considerado casos especiales de este resultado en
1874 y 1868, respectivamente. Frobenius también prueba el resultado general de que cada matriz cuadrada satisface su ecuación característica. A pesar del
hecho que Cayley y Hamilton solo probaron casos pequeños del teorema deCayley-Hamilton, Frobenius generosamente atribuyo este resultado a Cayley,
a pesar de que fuese el mismo quien probo el teorema en su forma general. Años mas tarde, en 1896, Frobenius había de conocer la Memoir on the
theory of matrices de Cayley de 1858 y a partir de entonces comienza a usar el término matriz. Se debe destacar igualmente la inuencia de Frobenius sobre el desarrollo de la noción de transformación lineal, la cual venia evolucionando desde el siglo XVIII con los trabajos de Cauchy, Weierstrass y Kronecker, entre otros, y que adoptaría su forma actual en 1918 de la mano del matemático alemán Hermann Weyl (1885-1955). A Frobenius también debemos las nociones de rango de una matriz (la cual usa en su trabajo sobre formas canonícas, así como ladentición de matrices ortogonales), equivalencia y congruencia de matrices.
En tal sentido, Frobenius probo que si A y B son matrices semejantes y f es un polinomio con coeficientes matriciales (y del mismo orden de A y B),
entonces las matrices f(A) y f(B) también lo son. A pesar de salirse del periodo establecido para este trabajo, es oportunomencionar que, recientemente, JenÄo Szigeti ([33]) tiene probada una identidad para matrices sobre un anillo con identidad arbitrario, a partir de la cual sededuce el teorema de Cayley-Hamilton para matrices sobre un anillo conmutativo con identidad y de característica cero.

Divulgaciones Matemáticas Vol. 14 No. 2(2006), pp. 153{170

CONCLUSIONES.



Martínez López Karina.

La historia del algebra lineal está formada por diversos matemáticos que han aportado importantes aplicaciones y diferentes soluciones para resolver ecuaciones utilizando operaciones básicas (suma resta, multiplicación, división).
El algebra lineal, tiene como ventaja incluir en sus operaciones no solo números sino también variables lo que hace más fácil resolver problema con incógnitas, nos permite visualizar problemas de ecuaciones, por lo que para un ingeniero es importante conocer los métodos del algebra lineal.
Ramses Velazquez Rodriguez

La relevancia que implementa el conocimiento de la historia del algebra lineal en nuestro desarrollo es en verdad significativo para conocer y comprender de manera más clara cuál fue la trayectoria recorrida a través del tiempo de la investigación, creación, desarrollo y aplicación de esta ciencia. Con la creación de esta investigación en conjunto a mis compañeros percibimos y clarificamos conceptos tales como: espacio vectorial, sub espacio vectorial o independencia lineal y conocimos los principales precursores de la vida con el algebra lineal. Rescato de esta investigación que es importante conocer para comprender


Video Tales De Mileto


Tales de Mileto h. 639 - h. 547/6 a. C. fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia, y el fundador de la escuela jonia de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo) y tuvo como discípulo y protegido a Pitágoras.[2] Es aparte uno de los más grandes astrónomos y matemáticos de su época, a tal punto que era una lectura obligatoria para cualquier matemático en la Edad Media y contemporánea. Sus estudios abarcaron profundamente el área de la Geometría, Álgebra lineal, Geometría del espacio y algunas ramas de la Física, tales como la Estática, Dinámica y Óptica. Su vida está envuelta en un halo de leyenda. Fue el primer filósofo Jónico